matrices

CREACION DE MATRICES

DEFINICION:
• Una matriz es un arreglo rectangular de números en donde se identifican las posiciones de fila y de columna en los cuales se ubica un valor numérico. La matriz se denomina con letras mayúsculas, los números en las filas y las columnas se encierran en corchetes rectangulares. Los números de las matrices se llaman entradas y se identifican con dos subíndices, el primero que representa la posición de fila y el segundo la posición de columna.
• En general la notación de la matriz es de n x m, donde n es el número de filas y m el número de columnas.
• Dos matrices que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
• Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna
• Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.

HISTORIA:
• El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.1
• Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.
• Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India,
• Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).1
• El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

OPERACIONES CON MATRICES:
SUMA O ADICCION: Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes. Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

Sus propiedades son:
- Asociativa: dadas las matrices m x n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
- Conmutativa: dadas las matrices m x n A y B
A+B = B+A
- Existencia de matriz cero o matriz nula:
A+0 = 0+A = A
- Existencia de matriz opuesta: con –A = [-aij]
A+(-A) = 0

PRODUCTO POR ESCALAR: Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Sus propiedades son: Sean A y B matrices y c y d escalares.
- Clausura: A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
- Asociativa: (cd)A = c(dA)
- Elemento neutro: 1•A = A
- Distributividad: *de escalar: c(A+B) = cA+cB
- *de matriz: (c+d)A = cA+dA


PRODUCTO: El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

ejemplo:

Sus propiedades son: Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.

TRANSPUESTA: la transpuesta de una matriz m x n A es la matriz n x m AT , formada al intercambiar las filas y las columnas i,j.

APLICACIONES ECONOMICAS DE MATRICES

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matecto.pdf

LINKS SOBRE EL TEMA BUSCAR:
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Matrices.htm
http://www.ematematicas.net/matrices.php
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F
http://html.rincondelvago.com/matrices_2.html

http://www.youtube.com/watch?v=v5gbTHBqS1A